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Musik ist reine Mathematik
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Ohne
Mathematik gäbe es keine Musik Somit
kann Pythagoras als Bindeglied von Musik und Mathematik
angesehen werden.
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Er war Arzt,
Musikwissenschaftler, Mathematiker, Begründer unseres
wissenschaftlichen Zeitalters – er schuf die Voraussetzungen für die
Nutzbarmachung harmonisch strukturierter Musik in der Medizin
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Pythagoras
von Samos
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Kurze
Biographie
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Pythagoras
war ein griechischer Philosoph und Mathematiker. Er wurde um 570
v. Chr. auf der griechischen, Kleinasien vorgelagerten Insel
Samos geboren. Sein weiterer Lebenslauf wurde nur mündlich überliefert
und etwa neun Jahrhunderte später von Jamblichos in der
"Vita des Pythagoras" niedergeschrieben. Danach flüchtete
er mit etwa 18 Jahren zu den Naturphilosophen Anaximandros und
Thales nach Milet, weil sich in seiner Heimat die Tyrannis des
Polykrates ausbildete. Diese nahmen ihn gerne bei sich auf und
ließen ihn an ihrer Gedankenwelt teilhaben, weil er Interesse
und Begabung zeigte. Später entschloss er sich nach Ägypten zu
segeln, um die Priester in Memphis und Diospolis aufzusuchen,
weil sie auch Thales gelehrt hatten.
Die Seefahrer, mit denen er unterwegs war, hielten Pythagoras für
ein göttliches Wesen, da die Überfahrt wider Erwarten ruhig
verlief.
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Pythagoras von Samos
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In
Ägypten ließ er sich mit Fleiß über jede Lehre unterrichten und
verweilte dort 22 Jahre lang bei Sternenkunde, Geometrie und Einweihung
in alle Göttermysterien. Doch dann wurde er von Kriegern des Kambyses
gefangengenommen und nach Babylon geführt, wo er von Magiern über die
Götterverehrung lernte und in der Zahlenlehre, in der Musik und in den
anderen Wissenschaften das höchste Ziel erreichte. Nach 12 Jahren
kehrte er schließlich nach Samos zurück.
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Weiterhin
ist bekannt, dass er etwa um 530 v. Chr. nach Kroton
(Unteritalien) auswanderte und dort den pythagoreischen Bund gründete.
Dieser war eine aristokratisch- religiöse Sekte, die eine
sittliche und politische Reform anstrebte. Wegen ihrer
politischen Ziele stießen sie jedoch auf Widerstände, so daß
es sogar zu Verfolgungen kam, wodurch der Einfluss dieses Bundes
abnahm und die pythagoreische Philosophie in ihrer Entwicklung
gehemmt wurde.
Von
Pythagoras direkt verfasste Werke sind nicht überliefert
worden, da die Schule zur Geheimhaltung verpflichtet war. Erst
über die Pythagoreer, die Schüler und Anhänger seiner Lehren
und Mitglieder des Pythagoreischen Bundes, ist und wurde mehr bekannt.
Pythagoras genoss schon zu Lebzeiten göttliche Verehrung und
wurde nach seinem Tod zu einer Legende. |
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Sein
Ziel als Philosoph war es, durch das Streben nach Welterkenntnis sich
der Gottheit zu nähern und ihr zu dienen.
Schließlich starb Pythagoras um 480 v. Chr. in
Mentapont am Golf von Tarent. Nach
seinem Tod entwickelten sich zwei Richtungen unter den Anhängern der
pythagoreischen Lehre: Die Akusmatiker und die Mathematiker
(Arithmetik, Geometrie, Harmonik und Sternenkunde)
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Hauptpunkte
seiner Lehre, die pythagoreische Lebensweise
Um ein
sittliches gutes Leben zu führen, musste der Pythagoreer stets darauf
achten, dass sein Körper immer in der selben Verfassung blieb. Er
sollte auf gleichbleibendes Gewicht und gleichbleibende Stimmung
(gleichmäßig sanft und heiter) achten. Ebenfalls durfte er kein Tier töten
oder essen, da es ja möglich war, als Tier wiedergeboren zu werden.
Statt dessen sollte er sich der fruchtbringenden Pflanzenwelt bedienen.
Besonders
lehrte Pythagoras die Freundschaft aller mit allen (z. B. Götter mit
Menschen, Leib mit Seele). Man sollte den Umgang mit anderen so
gestalten, dass Freunde nicht zu Feinden, aber Feinde zu Freunden
werden. |
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Mathematik/Zahlenlehre
Die
pythagoreische Mathematik verselbstständigte sich schnell, sie blieb
aber für die Philosophie wichtig.
In der Mathematik kamen die Pythagoreer zu bemerkenswerten Ergebnissen,
wie zum Beispiel:
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Lehrsatz des Pythagoras (a2 +b2= c2),
nach dem die Summe der beiden Kathetenquadrate eines
rechtwinkligen Dreiecks dem Hypotenusen-Quadrat gleicht.
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Tetraktys, unter der man die Folge der ersten vier Zahlen, bzw.
ihre Summe versteht (1 +2 +3 +4 = 10). Aus dieser Formel
entfaltet sich die gesamte Rechenkunst. Sie wird nicht nur als
Vierheit von Zahlen gesehen, sondern auch von Begriffen und Kräften
(z.B. Feuer, Erde, Luft, Wasser ergeben die vier Elemente; vier
Himmelsrichtungen; vier Jahreszeiten usw.).
Der
Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze
der euklidischen Geometrie. |
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Zahlen weisen in die Unendlichkeit. Als Prinzipien der
Wirklichkeit müssen sie sich aber als endliche Anzahl begreifen
lassen. Hier nun kam Pythagoras zum
gleichen Schluss wie die chinesischen Philosophen: nur die
ersten zehn Zahlen sind als Erzeugungsprinzipien der
Wirklichkeit zu betrachten, weil ihre Periode allein mit der
Null in Beziehung steht,  und
weil ferner zehn die Summe der ersten vier Zahlen in dem
Tetraktys, eins + zwei + drei + vier, darstellt, und weil schließlich
sich die geometrische Ordnung der Dimensionen, die ebenfalls von
Pythagoras entdeckt wurde –
Punkt, Linie, Fläche, Körper und Bewegung – sich als
Ausdruck des Tetraktys begreifen läßt. Das Dezimalsystem wäre
also demnach die Grundlage sowohl des Erkennens als auch der
Wirklichkeit, wobei, wie wir schon beim jüdischen mythischen
Denken erwähnten, der Wert der anderen Systeme nicht in Frage
gestellt wird: sie dienen nur anderen Zwecken.
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In
der Lehre des Pythagoras von den Zahlen bildeten sich zwei Aspekte
heraus: der quantitative Aspekt des Zählens und Messens, der zur
Mathematik führen sollte, und der qualitative Aspekt der Bedeutung, der
zur psychologischen Symbolik der Zahlen führen sollte. In den
zweieinhalb Jahrtausenden bis zu unserer Gegenwart trat immer der eine
oder andere Aspekt mehr in den Vordergrund.
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Geometrie
und Musik wurden bei Pythagoras über die Vorstellungen zu Harmonie und
Proportionen miteinander in Verbindung gebracht. Die Architektur kann
als praktische Kunst oder angewandte Wissenschaft Harmonie und
Proportionen in ihren Gestaltungsprinzipien umsetzen.
Von diesen Wurzeln her können Zusammenhänge von Geometrie, Musik und
Architektur erforscht werden.
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Alle
Religionen, die eine Schöpfungsgeschichte enthalten, weisen immer
wieder auf die Bedeutung des Klanges für die Erschaffung der Welt hin.
Bei den australischen Aborigines wurde die Welt mit dem Klang des
Didgeridos ins Leben gerufen. Mit einem Ruf schöpft Gott auch in der
Genesis. „Und Gott sprach es werde Licht..“ Doch diese Aufzählung wäre
unvollständig, ohne einmal den heiligen Laut Om oder Aum der östlichen
Traditionen zu erwähnen.
Am Anfang war das Wort. Mit diesem Satz beginnt das Johannes Evangelium.
Und jeder, der ihn hört oder liest, erinnert sich an die
Schöpfungsgeschichte. In jedem von uns klingt sofort eine Saite an. Wie
nahe wir der Wahrheit mit diesem Satz bereits sind, zeigen die weiteren Erläuterungen. |
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Nun
kommen wir zu Pythagoras und der Musik! |
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Bei
den Pythagoreern stand die Mathematik, genauer gesagt die Zahl,
sehr eng mit der Musik in Verbindung, da jeder Ton eine
bestimmte, mathematisch darstellbare Schwingungsfrequenz hat. Zu
diesem Zusammenhang zwischen Zahl und Musik gelangte er auch
durch die Entdeckung, dass die Intervalle innerhalb der
Tonleiter als Verhältnisse ganzer Zahlen ausdrückbar sind.
Nachdem er dieses herausgefunden hatten,
kam er zu der Schlussfolgerung,
dass auch alle anderen Dinge der Natur Zahlen nachgebildet sind,
dass also das Wesen aller Dinge im Grunde genommen aus Zahlen besteht. |
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Diese
Verallgemeinerung brachte ihn schließlich zu der Idee, dass eine
umfassende mathematische Ordnung existiert, die er, Pythagoras in seiner
Lehre von der Harmonie der Sphären ausdrückte. Danach sollten alle
Himmelskörper durch ihre Geschwindigkeit Geräusche einer
unbeschreiblichen Stärke verursachen. Er behauptete weiterhin, dass je
nach Geschwindigkeit und Abstand von den anderen ganz individuelle Töne
entstehen, so dass schließlich durch den Kreislauf ein harmonischer
Urklang entsteht. Dass der Mensch diesen Klang nicht hört, erklärte er
sich damit, dass jeder Mensch seit seiner Geburt dieser Planetenmelodie
ausgesetzt ist, so dass er den Unterschied zu der absoluten Stille gar
nicht erkenne. |
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Auch jüngere Erkenntnisse besagen, Musik ist empfundene, verzeitlichte, hörbare Mathematik, schreibt
Hans
Zimmermann und belegt es akribisch, sozusagen bis auf das Komma
genau. Damit steht er nicht allein: Hunderte von mehr oder weniger
kompetenten Quellen und Autoren (und eine Reihe von Nobelpreisträgern)
halten es genauso. Joachim Ernst Berenth hat einige Bücher geschrieben,
u. A. " Nada Brahma − die Welt ist Klang" und "Schließlich sind Musik und Mathematik wie zwei
Geschwister: Mal drängt sich die eine vor, mal der andere. |
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„Die Musik ist eine
verborgene arithmetische Übung der Seele, die nicht weiß,
dass sie mit Zahlen umgeht.“ Leibniz
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Weiterhin
ist wissenschaftlich belegt, dass das Hören von Musik körperliche Vorgänge
beeinflussen kann, indem es z.B. die Puls- und Atemfrequenz sowie den
Muskeltonus zu verändern vermag.
Wenn schon das Hören solch einen beachtlichen Effekt zeigt, wie stark
ist dann erst die Reaktion wenn konstante
Schwingungen von der Haarspitze bis zu den Zehen direkt auf den Körper
wirken und mit ihm eis werden bzw. verschmelzen! |
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Von
Pythagoras das einseitige Monochord.
Die Länge einer über zwei Auflagepunkte gespannten Saite wird durch
ganze Zahlen geteilt. An diesen Stellen der Teilung, den sog. Schwingungsknoten entstehen neuerlich Töne: die Harmonie- oder Obertöne.
Diese können als Bruch in ihrem ganzzahligen Verhältnis zueinander
dargestellt werden und durch Berühren hörbar gemacht werden.
In der grafischen Darstellung unten sind durch die roten Punkte die
Teilungen der ganzen Zahlen, die Berührungspunkte, markiert. Die Länge
der Saite wird halbiert, gedrittelt, geviertelt usw. Eine Teilung
durch 2 bedeutet immer eine Frequenzverdoppelung, d.h. die Saite
schwingt an diesem Berührungspunkt mit doppelt soviel Schwingungen pro
Sekunde (Hertz), eine Teilung durch 3 bedeutet eine Verdreifachung der
Frequenz , eine Teilung durch 4 ..., durch 5 ..., usw.
Der blaue Pfeil markiert die Stelle, an der gezupft oder gestrichen
wird.
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Exemplarisch ist über der Saite das Verhältnis von 7:4 und von 3:2
dargestellt.
So entstehen Intervalle, also Tonabstände, in diesem Fall die Quinte:
3:2 (oder 3/2) stellt die Tonhöhe, welche bei der Drittelung der Saite
erklingt. |
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Tipp:
So richtig zur Erkenntnis führt das alles natürlich erst
durchs Ausprobieren. Nehmt versuchsweise ein Monochorde
(oder eine Gitarre) und spielt
die Harmonietöne wie angegeben bis zur Siebtelung.
Der siebente Harmonieton ist noch gut hör- und spielbar. |
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Akkorde und Harmonien
Durch Terzschichtung auf den Tönen der Durtonleiter entstehen Akkorde,
d.h. der jeweils dritte Ton wird auf den vorhergehenden geschichtet. |
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Ein
Akkord ist dann gegeben, wenn mindestens drei unterschiedliche Töne
zusammenklingen.
Hier ist es der C-Dur Akkord, aufgebaut auf den C,
dem E und dem G.
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Die
Akkorde die auf den Stufen I. / IV und V entstehen sind Dur-Akkorde. Auf
den Stufen II / III und VI bilden sich Moll-Akkorde. Auf Stufe VII
entsteht ein verminderter Akkord, der als Dreiklang noch relativ
unwichtig ist |
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Bilden wir das Verhältnis von Grundsaite zu längerer Saite, erhalten
wir das Verhältnis 3/2. Musikalisch gesehen sieht es wieder umgekehrt
aus. Der Grundton steht im Verhältnis 2 zu 3 mit unserem neuen Ton. Auf
unsere normale Tonleiter bezogen, würden wir ausgehend von dem Ton C,
zu dem höher gelegenen Ton G gelangen – der Quinte. Um den Klang
(Sound) bei der Tontherapie PRIMUSONA G2000 für Körper
und Geist angenehm zu arrangieren,
ist jeweils die Quinte im Klang mitschwingend. |
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Möchten
wir aber die innere Struktur der Obertonreihe verstehen,
zeichnen wir nacheinander alle dazugehörigen Töne auf.
Den Grundton, den 1., den 2., den 3. Reihenton.
Nur die Auflösung unserer Zeichengeräte setzt hier die
Grenzen. |
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Die Frequenz steht im umgekehrten Verhältnis zur Länge.
Wir wählen für A1 die Frequenz 440 Hz, gehen eine Sext tiefer
auf 16/27 *440 Hz=7040/27 Hz = 260.74 Hz und erhalten C1. Von
dieser Frequenz gehen wir 9/8 (Sekund), 81/64 (Terz), 4/3
(Quart), 3/2 (Quint), 27/16 (Sext), 243/128 (Sept), 2 (Oktave)
hoch und generieren D1, E1, F1, G1, A1 (440 HZ), H1, C2.
Pythagoras baute nun mit Hilfe einfacher Brüche einer
bestimmten Saitenlänge eine Tonleiter auf. Die Hälfte
der Saitenlänge ergibt den Ton C1 (Oktave), 2/3 der Saitenlänge
den Ton G1 (Quint), 3/4 der Saitenlänge den Ton F1 (Quart).
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Morphische Resonanz
Ein von Raum und Zeit unabhängiges Resonanzphänomen, das die
Formbildung und das Verhalten (vor allem das Lernen) von Organismen
durch vorangegangene Formbildungen und Verhaltensweisen von Vorgängern
derselben Spezies beeinflusst. |
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Der
Mensch; gesehen von der Zeugung aus!
Es ist der gleiche Weg, den jedes
Lebewesen geht. Die weibliche Eizelle ist 200 mal so groß wie eine
normale Körperzelle. Nach der ersten Teilung ist jede einzelne Zelle
nur noch 100fach. Das Viererpaket je 50fach. Die ersten Acht Zellen habe
eine Größe von je 25facher Körpergröße. Das menschliche Embryo
lernt, wie Zellteilung funktioniert, um dann über sich hinauszuwachsen,
um zu zeigen und zu werden, was es gelernt hat. |
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usw. |
Der
"Schwingungsteppich" bei den Klangsitzungen besteht
aus einem tiefen Grundton und den Oktavtönen. Zur
"Abrundung" der Schwingungen ist, wie schon weiter
Oben erwähnt, die Quinte auch noch hinzugefügt. |
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Dies
hat den zusätzlichen Effekt, dass nicht nur das zu therapierende
Organ oder der Körperteil beschwingt wird, sondern gleichzeitig
auch weitere Organe und Körperteile. Als Beispiel ist es beim
Herz die Galle, beim Magen die Leber, bei der Lymphe die Pankreas
usw. usw.. Mit einer Klangsitzung werden somit 2 Schwingungsebenen
bedient, wenn auch die 2. nicht in dem gleichstarken Maße.
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Anhang:
Jetzt haben drei Musik-Professoren von den Universitäten
Florida, Yale und Princeton gemeinsam einen vollkommen neuen Ansatz
entwickelt, um die Mathematik hinter der Musik zu analysieren und zu
kategorisieren. Sie erzeugten ein Modell, das die Sprache der Musik in
die der modernen Geometrie übersetzt. „Unsere Arbeit liefert eine
Vielzahl von Werkzeugen, um Musik zu verstehen und zu erforschen, indem
wir die moderne Mathematik in natürlicher und für die Musik relevanter
Weise einsetzen“, erklärt Clifton Callender von der Florida State
Universität, einer der Autoren der Studie.
Tonsprünge
als räumliche Verhältnisse
Die Wissenschaftler gruppierten die Bausteine der Musik in
„Familien“ von Akkorden oder Melodien. Dann ordneten sie jeder
Familie eine mathematische Struktur zu, die sie als Punkte in einem
komplexen geometrischen Raum darstellte. „Wir erleben intuitiv ein
Gefühl der räumlichen Entfernung, wenn wir uns von einem Akkord zum
anderen bewegen“, so Callender. „Wenn wir nur eine Note ein wenig
verändern, ist es wie eine kleine Bewegung zwischen ähnlichen
Akkorden, wenn wir aber viele Noten stärker verändern, fühlen wir
einen größeren Abstand zwischen unähnlichen Akkorden.“
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Form
ist verdichtete Schwingung
oder
auch anders formuliert
Form ist in Materie gebundene Schwingung.
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